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Integrales fraccionarias. Teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev

Definición 3.1 Sea $0<\alpha<n.$ La integral fraccionaria $I_{\alpha}$ asociada a la medida $\mu$ la definiremos, para funciones apropiadas

sobre $\mathbb{X}$ como

(3.1)

$\displaystyle I_{\alpha}f(x)=\int_{\mathbb{X}}\frac{f(y)}{d(x,y)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(y).$

Teorema 3.2 Para $1\leq p<\frac n{\alpha}\;$ y $\; \frac 1{q}=\frac 1{p}-\frac{\alpha}{n},$ tenemos

(3.2)

$\displaystyle \mu\left(\left\{x\in\mathbb{X}\; :\; \left\vert I_{\alpha}f(x)\r... ...\right)\leq\left(\frac{C\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}}{\lambda}\right)^q,$

es decir, $I_{\alpha}$ es acotado de $L^p(\mu)$ en el espacio de Lorentz $L^{q,\infty}(\mu).$

Demostración. Adaptemos la prueba que da Stein [S] para $\mathbb{R}^n.$ Podemos tomar $f\geq 0.$

$\displaystyle I_{\alpha}f(x)= \int_{\mathbb{X}}\frac{f(y)}{d(x,y)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(y)= I+II,$

donde

es la integral sobre

es la integral sobre
$\mathbb{X}\setminus B(x,r).$ Por la desigualdad de Hölder, si

$\displaystyle \left\vert II\right\vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}... ...setminus B(x,r)}\frac 1{d(x,y)^{(n-\alpha)p'}}\,{\rm d}\mu(y)\right)^{1/p'}.$

$(n-\alpha)p'=n+\gamma,$ donde $\gamma=n(p'-1)-\alpha p',$ de modo que

$\displaystyle \frac{\gamma}{p'}=n\left(1-\frac 1{p'}\right)-\alpha=\frac n{p}-\alpha>0.$

$% latex2html id marker 3402 $\displaystyle \hbox{Por el Lema \ref{lema2}}\; \; \... ...C\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)} r^{-\left(\frac n{p}\, -\alpha\right)}, $$

estimación que vale incluso para

Podemos suponer y suponemos que $\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}=1.$ También, para $\lambda>0,$ elegimos

de forma que sea $C r^{-\left(\frac n{p}\, -\alpha\right)}=\lambda/2.$ Entonces

	$\displaystyle \left\{x\in\mathbb{X}\; :\; \left\vert I_{\alpha}f(x)\right\vert >\lambda\right\}$	$\displaystyle \subset$	$\displaystyle \left\{x\in\mathbb{X}\; :\; \left\vert I\right\vert >\lambda/2\right\}$
		$\displaystyle \cup$	$\displaystyle \left\{x\in\mathbb{X}\; :\; \left\vert II\right\vert >\lambda/2\right\}$

Por la relación entre

y $\lambda,$ el segundo de estos conjuntos es vacío. Usamos de nuevo la desigualdad de Hölder para obtener

	$\displaystyle \left\vert I\right\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left(\int_{B(x,r)}\frac {\left\vert f(y)\right\vert ^p}{d(x,y)^{... ...1/p}\left(\int_{B(x,r)}\frac{\,{\rm d} \mu(y)}{d(x,y)^{n-\alpha}}\right)^{1/p'}$
		$\displaystyle \leq$	$\displaystyle Cr^{\alpha/p'}\left(\int_{B(x,r)}\frac {\left\vert f(y)\right\vert ^p}{d(x,y)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(y)\right)^{1/p},$

donde hemos usado el Lema 2.1 . Después, usando la desigualdad de Tchebichev, conseguimos

			$\displaystyle \mu\left(\left\{x\in\mathbb{X}\; :\; \left\vert I_{\alpha}f(x)\ri... ...t(\left\{x\in\mathbb{X}\; :\; \left\vert I\right\vert >\lambda/2\right\}\right)$
		$\displaystyle \leq$	$\displaystyle C r^{\alpha p/p'}\lambda^{-p}\int_{\mathbb{X}}\int_{B(x,r)}\frac{\vert f(y)\vert^p}{d(x,y)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(y)\,{\rm d}\mu(x)$
		$\displaystyle =$	$\displaystyle C r^{\alpha p/p'}\lambda^{-p}\int_{\mathbb{X}}\int_{B(y,r)}\frac{\,{\rm d}\mu(x)}{d(x,y)^{n-\alpha}}\vert f(y)\vert^p\,{\rm d}\mu(y)$
		$\displaystyle \leq$	$\displaystyle C r^{\alpha p/p'}r^{\alpha}\lambda^{-p}=Cr^n=C\lambda^{-q},\; \hbox{ya que}\; \lambda=C r^{-(n/p-\alpha)}.$

$\qedsymbol$

Corolario 3.3 Para $1<p<\frac n{\alpha}\;$ y $\; \frac 1{q}=\frac 1{p}-\frac{\alpha}{n},$ tenemos

(3.3)

$\displaystyle \left\Vert I_{\alpha}f\right\Vert _{L^q(\mu)}\leq C\left\Vert f\right\Vert _{L^p(\mu)}$

Demostración. Basta aplicar el teorema de interpolación de Marcinkiewicz con índices algo mayor y algo menor que

$\qedsymbol$

Teorema 3.4 Para una medida $\mu,$ finita sobre bolas y que no tenga átomos, la condición ( 2.1) es necesaria para que se cumpla el teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev.

Demostración. Supongamos que se cumple ( 3.3). Sea

una bola de radio

Si $\mu(B)=0,$ entonces ( 2.1) es cierta trivialmente. Sea $\mu(B)\neq 0.$ Para cada $x\in B,$ tenemos

$\displaystyle I_{\alpha}\chi_B(x)\geq \int_B\frac{1}{d(x,y)^{n-\alpha}}\,{\rm d}\mu(y)\geq\frac{1}{(2r)^{n-\alpha}}\mu(B).$

Aplicando ( 3.3) obtenemos

	$\displaystyle \frac{1}{(2r)^{n-\alpha}}\mu(B)^{1+\frac{1}{q}}$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \left(\int_B\left\vert I_{\alpha}\chi_B(x)\right\vert ^q\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/q}$
		$\displaystyle \leq$	$\displaystyle C\left\Vert\chi_B\right\Vert _{L^p(\mu)}=C\mu(B)^{1/p},$

que equivale a

(3.4)

$\displaystyle \mu(B)^{1+\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\leq C\left(r^n\right)^{1-\frac{\alpha}{n}}.$

Como $1+\frac{1}{q}-\frac{1}{p}=1-\frac{\alpha}{n},$ la desigualdad ( 3.4) es precisamente, la condición ( 2.1). Un argumento similar funciona si suponemos ( 3.2).

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Mario Storti 2001-12-20