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Operadores Integrales Fraccionarios

Definición 4.1 Sean $0<\alpha<n$ y $0<\varepsilon \leq 1.$ Una función $k_{\alpha}:\mathbb{X}\times\mathbb{X}\longrightarrow\mathbb{C}$ se dice que es un núcleo fraccionario de orden $\alpha$ y regularidad $\varepsilon$ si satisface las dos condiciones siguientes:

(4.1)

$\displaystyle \vert k_{\alpha}(x,y)\vert\le \frac{C}{d(x,y)^{n-\alpha}},$ para todos $\displaystyle \; x\neq y;$

(4.2)

$\displaystyle \vert k_{\alpha}(x,y)-k_{\alpha}(x',y)\vert\leq C\frac{d(x,x')^{\varepsilon }}{d(x,y)^{n-\alpha+\varepsilon }}.$

para $d(x,y)\ge 2\,d(x,x').$ El correspondiente operador $K_{\alpha}$ , al que llamaremos `` operador integral fraccionario'', vendrá dado por

(4.3)

$\displaystyle K_{\alpha}(f)(x)=\int_\mathbb{X}k_{\alpha}(x,y)\,f(y)\,d\mu(y).$

Por ( 4.1), $K_{\alpha}(f)$ está bien definido para $f\in L^p(\mu), \; 1\leq p<\frac{n}{\alpha}$ y ( 3.3) o ( 3.2) son también válidas para él, como lo son para $I_{\alpha}(f).$ A continuación vemos que la integral fraccionaria $I_{\alpha}$ es un ejemplo de operador integral fraccionario con un núcleo de regularidad

Lema 4.2 Sean $x,y,z\in\mathbb{X}$ tales que $2d(x,y)\leq d(x,z).$ Entonces

(4.4)

$\displaystyle \left\vert\frac{1}{d(x,z)^{n-\alpha}}-\frac{1}{d(y,z)^{n-\alpha}}\right\vert \leq C \frac{d(x,y)} {d(x,z)^{n-\alpha+1}}.$

Demostración. Por el teorema del valor medio del cálculo diferencial real, tenemos, para

$\displaystyle \left\vert s^{\alpha-n}-t^{\alpha-n}\right\vert \leq (n-\alpha)\left\vert(1-\theta)s+\theta t\right\vert ^{\alpha-n-1}\vert s-t\vert$

para algún $\theta\in]0,1[.$ Ahora, teniendo en cuenta que $2d(x,y)\leq d(x,z),$ obtenemos

$\displaystyle \left\vert\frac{1}{d(x,z)^{n-\alpha}}-\frac{1}{d(y,z)^{n-\alpha}}... ...\right\vert }{d(x,z)^{n-\alpha+1}}\leq \frac{Cd(x,y)} {d(x,z)^{n-\alpha+1}}.$

Definición 4.3 Sea $k_{\alpha}$ un núcleo fraccionario de regularidad $\varepsilon$ , $f\in L^p(\mu),\; p>n/\alpha,$ y $\alpha-\frac{n}{p}<\varepsilon .$ Definimos

(4.5)

$\displaystyle \widetilde{K_{\alpha}}f(x)=\int_{\mathbb{X}} \left\{k_{\alpha}(x,y) - k_{\alpha} (x_0,y) \right\}f(y)\,{\rm d}\mu(y),$

donde

is algún punto fijo de $\mathbb{X}.$

Observamos que la integral en ( 4.5) converge tanto localmente como en $\infty$ como consecuencia de ( 4.1), (4.2) y de la desigualdad de Hölder. Desde luego la función definida depende de la elección de

Pero las funciones obtenidas para diferentes elecciones de

sólo difieren en una constante.

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