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Espacios `` no homogéneos''. Hechos básicos.

Mientras no se diga otra cosa, en todo lo que sigue, $ (\mathbb{X}, d,\mu)$ va a ser un espacio `` no homogéneo''. Esto significa que $ d$ es una distancia en $ \mathbb{X}$ y $ \mu$ una medida de Borel en $ \mathbb{X},$ tales que, para cada bola

$\displaystyle B(x,r)=\left\{y\in\mathbb{X}\; :\; d(x,y)<r\right\},\; x\in\mathbb{X},\; r>0,$

se cumple

(2.1) $\displaystyle \mu(B(x,r))\leq C r^n,\; \hbox{donde}\; n \; \hbox{ es un n\'umero real positivo.}$

A veces nos referiremos a la condición ( 2.1) diciendo que la medida $ \mu$ es $ n-$dimensional. Aunque en un espacio métrico arbitrario, una bola no determina de forma unívoca ni su centro ni su radio, cuando hablemos de `` la bola $ B$'', daremos por sobreentendido, que hemos elegido para ella un centro y un radio. Así tiene sentido decir que si $ B$ es una bola y $ k$ es un número real positivo, denotaremos por $ k B$ la bola con el mismo centro que $ B$ y radio $ k$ veces el de $ B.$

Lema 2.1   Para cada $ \gamma>0$

(2.2) $\displaystyle \int_{B(x,r)}\frac{1}{d(x,y)^{n-\gamma}}\,{\rm d}\mu(y)\leq C r^{\gamma}$

Demostración. Si $ n\leq \gamma,$ ( 2.2) se sigue inmediatamente de (2.1). Si $ \gamma<n,$ escribimos

\begin{multline*} \int_{B(x,r)}\frac{1}{d(x,y)^{n-\gamma}}\,{\rm d}\mu(y) =\su... ...)^n =C\sum_{j=0}^{\infty}2^{-\gamma j}r^{\gamma}=C r^{\gamma}. \end{multline*}

$ \qedsymbol$

Lema 2.2   Para cada $ \gamma>0$

(2.3) $\displaystyle \int_{\mathbb{X}\setminus B(x,r)}\frac{1}{d(x,y)^{n+\gamma}}\,{\rm d}\mu(y)\leq C r^{-\gamma}$

Demostración.

\begin{multline*} \int_{\mathbb{X}\setminus B(x,r)}\frac{1}{d(x,y)^{n+\gamma}}\... ...} =C\sum_{j=0}^{\infty}2^{-\gamma j}r^{-\gamma}=C r^{-\gamma}. \end{multline*}

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