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Los espacios de Lipschitz que hemos considerado hasta ahora, sólo
dependen de la métrica, y no de la medida. Es un hecho notable que
basten dichos espacios para contener las imágenes por los
operadores fraccionarios de las funciones de para
(Teorema
5.2). En particular el Teorema
5.2 implica que si
entonces
es acotado de
en
Tiene sentido preguntarse por la imagen
del espacio mayor
Esta pregunta nos lleva a introducir
los espacios de Lipschitz `` grandes''.
El contexto es aquí, de nuevo,
con una medida
dimensional.
Definición 7.1
Para
llamaremos
al
espacio de las clases de equivalencia módulo constantes de
funciones localmente integrables con respecto a
que
satisfacen la condición siguiente:
Para cada par de bolas
si llamamos
al radio de
se tiene, con una constante fija
(7.1) |
|
|
|
|
|
|
|
es un espacio de Banach con la norma
dada por la menor constante que hace cierta la desigualdad de
más arriba.
Nótese que la condición de la última definición equivale a pedir
juntas las dos propiedades siguientes:
(7.2) |
|
para toda bola de radio y
(7.3) |
|
para todo par de bolas
llamando al radio de
En estas dos condiciones es una constante fija tal que
Se demuestra, tal como hace Tolsa para
que el espacio
obtenido no depende de
Teorema 7.2
Sea
un núcleo fraccionario con regularidad
y
sea
Entonces
es un
operador acotado de
en
si y sólo si
Demostración. La necesidad y el hecho de que
son exactamente como en la demostración del teorema
5.3. De hecho, en cierto sentido el teorema que vamos a
demostrar ahora es la versión del teorema
5.3 .
Para probar la suficiencia, suponemos
y tomamos
Sabemos que
para existe una colección de números
donde
son las bolas centradas en puntos del soporte de la medida, tales
que
y, además
para cada par de bolas
Esta es la caracterización de
con la que Tolsa obtiene la desigualdad de John-Nirenberg.
Sean dos bolas
de radios respectivos y
Escribimos, para e
Nuestro propósito es demostrar (
7.1). A partir de
(7.4) obtenemos
Ahora estudiamos la aportación de cada uno de los
cuatro términos del segundo miembro a la media doble.
Para el primer término tenemos, eligiendo un
y
el correspondiente tal que
de forma que
podamos aplicar el teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev
donde hemos usado la desigualdad de John-Niremberg probada por
Tolsa para
y el hecho de que
Hemos obtenido
que sirve para nuestros propósitos.
El tratamiento del tercer término es muy parecido. Lo vemos a
continuación.
Esto nos da
también en línea con lo que buscamos.
El segundo término es un tanto especial. Veamos cómo podemos
acotarlo.
Esta estimación no es exactamente la que queremos, debido a la
presencia del exponente
Posponemos, por el
momento la discusión de cómo solucionar este inconveniente y
pasamos a estudiar el cuarto término.
donde hemos usado el lema 2 para obtener el segundo sumando. Dicho
sumando está dominado por
que
es lo que queremos. Sólo tenemos que ocuparnos del primer sumando.
Lo acotamos por
que a su vez está dominado por
En resumen, hemos sido capaces de demostrar que
La pregunta es ahora cómo obtener la estimación que buscamos, en
la que aparece con exponente 1.
Lo primero es observar que en la definición de
basta con tomar bolas ``
doblantes''. Una bola se dice que es
doblante, para y
si
Es fácil ver, a partir de la condición
(
2.1), que para cualquier punto y cualquier existe
alguna bola
doblante centrada en con radio
Asimismo, dado para grande,
dependiendo de y digamos
y para
casi todo
existe una sucesión de bolas
centradas en con radios que tienden a Para fijar ideas
llamaremos `` doblante'' sin más a toda bola
doblante, con
La suficiencia de la condición sobre bolas doblantes es un hecho
fundamental que fue observado por Tolsa para
La
demostración aquí es muy parecida. La segunda observación es el
siguiente lema, adaptado del correspondiente de Tolsa.
Lema 7.3
Existe una constante
tal que si para un
y cada
bola doblante
que contiene a
se tiene un número
de
modo que
para cada par de bolas
doblantes
con
tales que
siendo
el radio de
entonces
para cada par de bolas doblantes
con
siendo
el radio de
Con estas dos observaciones, vemos que nuestra estimación es
suficiente para probar el teorema.
Con las mismas técnicas se puede demostrar el siguiente resultado
Teorema 7.4
Sea
un núcleo fraccionario con regularidad
y
sean
tales que
Entonces
es un operador acotado de
en
si y sólo
si
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