Lema 6.3
Sean
bolas.
Existe una constante
independiente de
y
tal
que
donde
es el número entero que aparece en (6.3).
Demostración. Sean
y
Entonces
También, como
sabemos que existe
algún
tal que
Por
consiguiente
Entonces si
tenemos
que es lo que queríamos con
A partir de ahora y hasta el final de la sección usaremos el
valor fijo
Definición 6.4
Sea
y supongamos que
es un
núcleo fraccionario con regularidad
Para
definimos
(6.5) |
|
para algún
fijo. Veremos más abajo en el Teorema
6.5 que
está bien definido
para casi todo punto
con respecto a
Aunque la definición depende de la elección de
diferentes
elecciones de
dan lugar a funciones que difieren solamente
en una constante.
Teorema 6.5
Sea
y supongamos que
es como en
la última definición y
Entonces
está bien definido por (
6.5) en
casi todo punto con respecto a
y
con
independiente de
Demostración. Primero demostraremos la condición (
6.1) y, al mismo
tiempo, la existencia en casi todo punto de la integral en
(
6.5). Es suficiente demostrar que, para cada bola
existe una constante
tal que
(6.6) |
|
Tomemos
dada por
Claramente
está dominado
por:
donde
es la integral sobre
y
es la integral
sobre el complemento de
Estimamos a continuación las
integrales sobre
de
y
donde la última desigualdad es consecuencia del Lema
6.2. Para estimar la integral de
sobre
observamos primero
que, puesto que
e
usando
(4.2) obtenemos
y, por la desigualdad de Hölder y el Lema
2.2 vemos que
Por tanto, la integral de
sobre
también está acotada por
Ahora vamos a establecer
(
6.2). Sean
bolas,
con radio
y
con radio
Veremos que
|
|
|
|
(6.7) |
|
|
|
Observamos que el primer miembro de (
6.7) domina a
de modo que se obtiene (
6.2) para
Sea
para la que sabemos por el
Lema
6.3, que
Para casi todos
e
podemos escribir
Entonces
Denotemos por
y
los cuatro términos del segundo
miembro de la última desigualdad. Estimamos separadamente la media
doble de cada uno de estos cuatro términos. El primero y el
tercero se tratan mediante el Lema
6.2 .
y, del mismo modo
Para tratar
utilizamos la desigualdad de Hölder, obteniendo
pues
Finalmente, utilizando (
4.2)
Puesto que
aplicando el Lema
2.2, obtenemos
lo que completa la demostración.
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